HISTORIA
La Historia de los conjuntos es una mirada, a través del tiempo, a los trabajos que permitieron el desarrollo de lo que hoy se conoce como la teoría de conjuntos, que como tal aparece por el esfuerzo del matemático rusoalemán, Georg Cantor.
Inicios
El álgebra de la teoría de conjuntos se desplegó durante los siglos XIX y XX.En Inglaterra trabajaron George Peacock con su Treatiseon Algebra que revolucionó la concepción del álgebra y la aritmética. Le siguen Duncan Gregory, William Rowan Hamilton y Augustus de Morgan. Este busca un corpus formalizado con postulados y proposiciones .Recién en 1854, con el aporte de Boole a través de su Investigation of the Laws of Thought, se alcanzó a formalizar el álgebra de conjuntos y la lógica, hecho que permite expandir los esfuerzos de Peacock y de sus contemporáneos
Enfoque intuitivo
El enfoque intuitivo de la teoría de conjuntos se efectuó en la época del matemático rusoalemán, Georg Cantor, quien definió un conjunto en 1895, que a la larga le creó dificultades, que no las pudo allanar, completamente. En la década de 1870, Cantor al estudiar las series trigonométricas y las series de números reales, requería una manera de comparar el tamaño de los conjuntos infinitos de números. Al plantear que el estudio del infinito, como una realidad, está en el mismo nivel que lo finito, dio una decisión revolucionaria en los manejos de estos conceptos que a los griegos les permitió forjar sus paradojas, como las de Zenón.A pesar de la reticencias de ciertos matemáticos, concretamente como el caso de Kronecker, los trabajos de Cantor ganaron suficiente aceptación. De modo tal que en 1890, la teoría de conjuntos llegó a ser admitida como rama de las matemáticas.
Paradoja de Rusell
En 1901 la llamada Paradoja de Russell, en honor del filósofo matemático y pacifista, Bertrand Ruseel, mostró que la teoría de conjuntos tenía una inconsistencia interna. Posiblemente la dificultad surgiría de la falta de restricciones al definir los conjuntos; la idea de tomar en cuenta de que un conjunto pudiera ser elemento de sí mismo fue advertida como sospechosa. Por lo que los matemáticos ingleses Russell y Whitehead desarrollaron la teoría de tipos.Esta axiomática de la teoría de conjuntos del siglo XX, eludía la tal paradoja.
En 1931, Kurt Gödel planteó que desde el punto de vista matemático, no se pueda establecer que no existan contradicciones en matemáticas.
El símbolo de pertenecia ∈ fue introducido por Giuseppe Peano. El símbolo "∈" abrevia la palabra griega "εστι" que significa está . Los diagramas de Venn fueron introducidos por el lógico inglés Joh Venn. la importancia de conjuntos fue valorada por el matemático alemán David Hilbert cuando dijo: «Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor ha creado para nosotros».
Aceptación y difusión
La teoría de conjuntos , por el hecho de propiciar nuevos ámbitos de investigación, por las aplicaciones que mereció, de manera especial en topología y hasta en sectores del análisis clásico, ancló sólidamente en los fundamentos de la Matemática a fines de siglo y recibió la consagración legítima en el Congreso de Zurich (1897). Con su gran prestigió y su solvencia científica, el enciclopédico matemático alemán, David Hilbert colaboró a la divulgación de las ideas liminares de Cantor, sobre todo en Alemania.
La incorporación de nociones de conjuntos en la enseñanza básica, involucrando sus operaciones en la forma de "álgebra de conjuntos", ha sido posible, gracias al uso didáctico y visual de los ' «diagramas de Ven», que el lógico John Venn (1834- 1923) propuso en 1880, reajustando los diagramas parecidos que usó el prolífico matemático suizo, Leonard Euler, en 1770, para mostrar gráficamente silogismos.
Siglo XX
El ya legendario policefálico Nicolás Bourbaki, desde los años 30 del siglo XX, ha elaborado una consolidada serie de libros sobre las diversas ramas de las Matemáticas, empezando con "Teoría de conjuntos". Por tal influencia desde 1960, aproximadamente, desde Estados Unidos arrancó una ola de renovación de la enseñanza de la matemática, a base de conjuntos y un perfil algebraico y una actitud deductiva. Como lo previó Tomm, tal programa no tuvo éxito. Sin embargo, en los fundamentos de la Topología General y la Teoría de Probabilidades, se constata la inmensa utilidad que dan los conjuntos, como también en la geometría y el análisis matemático.
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o en su defecto de elementos que pertenecen y responden a la misma categoría o grupo de cosas, por eso se los puede agrupar en el mismo conjunto
RECUERDE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS:
- Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
- N: el conjunto de los números naturales.
- Z: el conjunto de los números enteros.
- Q : el conjunto de los números racionales.
- R: el conjunto de los números reales.
- C: el conjunto de los números complejos.
NOTACION
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
- A := {1,2,3, ... ,n}
- B := {pÎ Z | p es par}
EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN
Se puede definir un conjunto:
- por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
- por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
PERTENENCIA Y CONTENENCIA
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
LA CONTENENCIA ES UNA RELACION ENTRE CONJUNTOS
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Relación de pertenencia. Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A, ..., 6 ϵ A. Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉
ES UNA RELACIÓN ELEMENTO CONJUNTO
EJERCICIOS
1. Escribe simbólicamente las siguientes afirmaciones y gráfique mediante diagrama de Venn :
a) v pertenece al conjunto M b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H c) Entre los elementos del conjunto G no está el número 2 d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A e ) El conjunto X no contiene al conjunto K f) El conjunto H es un subconjunto propio del conjunto K
2. Completa las proposiciones siguientes con los símbolos ∈ o ∉:
2 ___ , 5 ___ , 3 ___ { x∈ℕ/2<x<6 }, 0 ___ Ø, América ___ { x / x es el nombre de un país }, 128 ___ ℕ.
2 ___ , 8__ { x∈ℕ/8<x<10}
3. Definir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:
a) A= c) B= e) T= b) C= d) R= f) Q= g)
4. Sea T={ x∈ℤ/4x=12 }. ¿Es T=3 ? ¿Por qué?
5. De entre los siguientes conjuntos, señala los que son el conjunto vacío:
A= B= C={ x∈ℝ/ x 2+x−1=0} D= E={ x∈ℝ/ x<4∧x>6} F={ x∈ℝ/ x>4∧x no es mayor que6 }
6. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos, unitarios, finitos o infinitos?
a) A = { x / x es día de la semana} b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} d) D = { x / x es un habitante de la luna} e) E = { x∈ℕ / x < 15} f) F = { x∈ℕ / 5 < x < 5 } g) G = { x∈ℕ / x > 15} h) H = { x∈ℕ / 3x = 6} i) I = { x / x es presidente del Mar Mediterráneo} j) J = { x / x es el número de pelos de todos los eslovacos que viven actualmente}
7. Consideremos los conjuntos A=, B=, C=, D= y E=. Indica en cada caso cuál de estos conjuntos puede ser el conjunto X:
a) X ⊂A y X ⊂B , b) X ⊄B y X ⊄E c) X ⊄C y X ⊂D d) X ⊄A y X ⊂E
8. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:
a) b) c) { x∈ℝ/(3x+1)( x+2)=0} d) e)
9. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos
a) b) c)
10. Dé 5 ejemplos a través de conjuntos numéricos de pertenencia y de continencia