Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4 . Por tanto, el límite de la función en es L = 4.

La expresión se lee: límite de f(x) cuando x tiende ó se aproxima a a es igual a L.

LÍMITES LATERALES:

La expresión se lee: límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L.

La expresión se lee: límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L.

Los límites laterales permiten determinar la existencia ó no existencia de un límite en un punto a través de las siguientes condiciones ó propiedades:

Si el valor de los límites laterales es igual, entonces el valor del límite en el punto existe y es igual al valor de los límites laterales. Es decir:

Si el valor de los límites laterales es diferente, entonces el valor del límite en el punto no existe. Es decir:

La gráfica corresponde a una función definida por partes. Vemos que conforme x se acerca a 2 por la izquierda los valores de la función, f(x), se acercan a 3. Por el otro lado, si x se acerca a 2 por la derecha, los valores de la función se aproximan a 1. Los límites laterales son distintos. No hay un solo número al que f(x) se aproxime, por tanto el límite bilateral no existe.

Analizar la siguiente gráfica 

LIMITES DETERMINADOS 

CALCULO DE LIMITES DETERMINADOS

el límite de una función y= f(x) para la variable x = a, a la expresión:
«límite de f(x) para los valores mas cercanos a x=a« 

Elementos de la definición de límite de una función en un punto

En la imagen se muestran los elementos propios de la definición formal de límite en tres casos distintos. Fíjate, en primer lugar en 1. El entorno de centro L y radio ε ha sido representado en azul claro. A dicho entorno podemos hacer corresponder, en el eje x, un entorno de centro a y radio δ, en verde claro, cuyos elementos tienen todas sus imágenes en el interior del entorno de centro L del eje y. Observa que, si escogiéramos un ε menor, el entorno correspondiente del eje x seguiría cumpliendo esta condición. De ahí que se diga en la definición "para cualquier entorno de L". En definitiva, es por eso que decimos que limx→af(x)=L.

Por otro lado, en 2, se pone de relieve que la función no tiene porque estar definida en a, de ahí que se diga en la definición "sin importar lo que ocurra en a".

Finalmente, en 3, tenemos una función cuyo límite no existe en a. Observa que, dado un entorno de L, hemos encontrado en el correspondiente entorno de a un elemento, x0 cuya imagen f(x0) no está en el primer entorno, luego la condición exigida no se cumple "para cualquier" entorno de L.

Si una función tiene límite en un punto, este es único.